质数

判断质数

$O(\sqrt n)$ 判断数字是否质数

bool isPrime(int x)
{
	if (x < 2)
	{
		return false;
	}
	for (int i = 2; i <= x / i; i++)
	{
		if (x % i == 0)
		{
			return false;
		}
	}
	return true;
}

Miller Robin

https://en.wikipedia.org/wiki/Miller–Rabin_primality_test

筛法

参考题目

P1217 [USACO1.5]回文质数 Prime Palindromes

https://www.luogu.com.cn/problem/P1217

题目描述

因为 151 既是一个质数又是一个回文数（从左到右和从右到左是看一样的），所以 151 是回文质数。

写一个程序来找出范围 $[a,b] (5 \le a < b \le 100,000,000)$ ( 一亿)间的所有回文质数。

输入格式

第 1 行: 二个整数 a 和 b .

输出格式

输出一个回文质数的列表，一行一个。

样例 #1

样例输入 #1

5 500

样例输出 #1

提示

Hint 1: Generate the palindromes and see if they are prime.

提示 1: 找出所有的回文数再判断它们是不是质数（素数）.

Hint 2: Generate palindromes by combining digits properly. You might need more than one of the loops like below.

提示 2: 要产生正确的回文数，你可能需要几个像下面这样的循环。

题目翻译来自NOCOW。

USACO Training Section 1.5

产生长度为5的回文数:

for (d1 = 1; d1 <= 9; d1+=2) {    // 只有奇数才会是素数
     for (d2 = 0; d2 <= 9; d2++) {
         for (d3 = 0; d3 <= 9; d3++) {
           palindrome = 10000*d1 + 1000*d2 +100*d3 + 10*d2 + d1;//(处理回文数...)
         }
     }
 }

参考代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
bool Prime(int x) {
	if (x < 2) {
		return false;
	}
	for (int i = 2; i * i <= x; i++) {
		if (x % i == 0) {
			return false;
		}
	}
	return true;
}
int z[100000], zc;
int main() {
	for (int i = 1; i <= 10000; i++) {
		{
			char s[20] = {};
			sprintf(s, "%d", i);
			int l = strlen(s);
			for (int i = 0; i < l; i++) {
				s[2 * l - 2 - i] = s[i];
			}
			int x;
			sscanf(s, "%d", &x);
			if (Prime(x)) {
				z[zc++] = x;
			}
		}
		{
			char s[20] = {};
			sprintf(s, "%d", i);
			int l = strlen(s);
			for (int i = 0; i < l; i++) {
				s[2 * l - 1 - i] = s[i];
			}
			int x;
			sscanf(s, "%d", &x);
			if (Prime(x)) {
				z[zc++] = x;
			}
		}
	}
	sort(z, z + zc);
	int l, r;
	scanf("%d%d", &l, &r);
	for (int i = 0; i < zc; i++) {
		if (l <= z[i] && z[i] <= r) {
			printf("%d\n", z[i]);
		}
	}
	return 0;
}

题解

P1218 [USACO1.5]特殊的质数肋骨 Superprime Rib

https://www.luogu.com.cn/problem/P1218

题目描述

农民约翰的母牛总是产生最好的肋骨。你能通过农民约翰和美国农业部标记在每根肋骨上的数字认出它们。

农民约翰确定他卖给买方的是真正的质数肋骨，是因为从右边开始切下肋骨，每次还剩下的肋骨上的数字都组成一个质数。

举例来说： $7\ 3\ 3\ 1$ 全部肋骨上的数字 $7331$ 是质数；三根肋骨 $733$ 是质数；二根肋骨 $73$ 是质数；当然,最后一根肋骨 $7$ 也是质数。 $7331$ 被叫做长度 $4$ 的特殊质数。

写一个程序对给定的肋骨的数目 $n$ ，求出所有的特殊质数。 $1$ 不是质数。

输入格式

一行一个正整数 $n$ 。

输出格式

按顺序输出长度为 $n$ 的特殊质数,每行一个。

样例 #1

样例输入 #1

样例输出 #1

提示

【数据范围】
对于 $100\%$ 的数据， $1\le n \le 8$ 。

题目翻译来自NOCOW。

USACO Training Section 1.5

参考代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
bool isPrime(int x)
{
	for (int i = 2; i * i <= x; i++)
	{
		if (x % i == 0)
		{
			return false;
		}
	}
	return true;
}
int main()
{
	int n;
	vector<int> a;
	a.push_back(2);
	a.push_back(3);
	a.push_back(5);
	a.push_back(7);
	cin >> n;
	vector<int> b;
	for (int i = 1; i < n; i++)
	{
		for (int i: a)
		{
			for (int j = 1; j < 10; j += 2)
			{
				if (isPrime(10 * i + j))
				{
					b.push_back(10 * i + j);
				}
			}
		}
		a.swap(b);
		b.clear();
	}
	for (int i: a)
	{
		printf("%d\n", i);
	}
	return 0;
}

题解

CF1178D Prime Graph

https://codeforces.com/problemset/problem/1178/D
https://www.luogu.com.cn/problem/CF1178D

参考代码

题解

连成一个环，加几条弦

CF1176D Recover it!

https://codeforces.com/problemset/problem/1176/D
https://www.luogu.com.cn/problem/CF1176D

参考代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2750131;
int v[N + 1];
int p[N + 1], pc;
int n, x;
int c[N + 1];
int main()
{
	for (int i = 2; i <= N; i++)
	{
		if (!v[i])
		{
			p[++pc] = i;
		}
		for (int j = 1; j <= pc && i * p[j] <= N; j++)
		{
			v[i * p[j]] = p[j];
			if (v[i] == p[j])
			{
				break;
			}
		}
	}
	cin >> n;
	for (int i = 0; i < 2 * n; i++)
	{
		cin >> x;
		c[x]++;
	}
	for (int i = N; i > 0; i--)
	{
		if (v[i])
		{
			for (;c[i] > 0; c[i]--)
			{
				printf("%d ", i);
				c[i / v[i]]--;
			}
		}
	}
	for (int i = 1; i <= N; i++)
	{
		for (;c[i] > 0; c[i]--)
		{
			printf("%d ", i);
			c[p[i]]--;
		}
	}
	printf("\n");
	return 0;
}