S(n)=∑1≤i≤nμ(i)S(n) = \sum_{1 \leq i \leq n} \mu(i)S(n)=1≤i≤n∑μ(i) 要计算所有 S(n/i)S(n / i)S(n/i) 的结果
[i=1]=∑d∣iμ(d)[i = 1] = \sum_{d | i} \mu(d)[i=1]=d∣i∑μ(d) ∑1≤i≤n[i=1]=∑1≤i≤n∑d∣iμ(d)\sum_{1 \leq i \leq n} [i=1] = \sum_{1 \leq i \leq n}\sum_{d | i} \mu(d)1≤i≤n∑[i=1]=1≤i≤n∑d∣i∑μ(d)
1=∑1≤i≤n∑d∣iμ(d)1 = \sum_{1 \leq i \leq n}\sum_{d | i} \mu(d)1=1≤i≤n∑d∣i∑μ(d)
1=∑1≤d≤n∑1≤i∗d≤nμ(d)1 = \sum_{1 \leq d \leq n}\sum_{1 \leq i * d \leq n} \mu(d)1=1≤d≤n∑1≤i∗d≤n∑μ(d)
1=∑1≤i≤n∑1≤d∗i≤nμ(d)1 = \sum_{1 \leq i \leq n}\sum_{1 \leq d * i \leq n} \mu(d)1=1≤i≤n∑1≤d∗i≤n∑μ(d)
1=∑1≤i≤n∑1≤d≤niμ(d)1 = \sum_{1 \leq i \leq n}\sum_{1 \leq d \leq \frac{n}{i}} \mu(d)1=1≤i≤n∑1≤d≤in∑μ(d)
1=∑1≤i≤nS(ni)1 = \sum_{1 \leq i \leq n} S(\frac{n}{i})1=1≤i≤n∑S(in)
1=S(n)+∑2≤i≤nS(ni)1 = S(n) + \sum_{2 \leq i \leq n} S(\frac{n}{i})1=S(n)+2≤i≤n∑S(in)
S(n)=1−∑2≤i≤nS(ni)S(n) = 1 - \sum_{2 \leq i \leq n} S(\frac{n}{i})S(n)=1−2≤i≤n∑S(in)